Алгоритм вычисления собственных значений — Википедия. В вычислительной математике одной из наиболее важных задач является создание эффективных и устойчивыхалгоритмов нахождения собственных значенийматрицы. Эти алгоритмы вычисления собственных значений могут также находить собственные векторы. Если задана n . Если k = 1, вектор просто называется собственным вектором. В этом случае Av = . Любое собственное значение . Значение k всегда можно взять меньше либо равным n. В частности, (A - . ![]() Геометрическая кратность значения . Алгебраическая кратность значения . Дальнейшие термины связаны с равенствомp. A(z)=det(z. E. Функция p. Где собственный вектор матрицы. Перенесем в соотношении (2.12) все слагаемые в левую часть. Тогда, считая, что ненулевой вектор, получим. Программы 2.5 можно использовать для вычисления собственных значений матриц сравнительно невысоких порядков. ![]() ![]()
A(z) — это характеристический многочлен матрицы A. Таким образом, алгебраическая кратность является кратностью собственных значений как корней характеристического многочлена. Поскольку любой собственный вектор является корневым вектором, геометрическая кратность меньше либо равна алгебраической кратности. Сумма алгебраических кратностей равна n степени характеристического многочлена. Уравнение p. A(z) = 0 называется характеристическим уравнением, поскольку его корни являются в точности собственными значениями матрицы A. По теореме Гамильтона — Кэли сама матрица A удовлетворяет тому же самому уравнению: p. A(A) = 0. Как следствие, столбцы матрицы . Точнее этот базис . Таким образом, . Таким образом, подобные матрицы имеют те же самые собственные значения. Нормальные, эрмитовы и вещественные симметричные матрицы. Квадратная матрица A называется нормальной, если она коммутирует с эрмитово- сопряжённой: A*A = AA*. Матрица называется эрмитовой, если она равна своей сопряжённой: A* = A. Все эрмитовы матрицы нормальны. Если A имеет только вещественные элементы, то сопряжённая к ней — это просто транспонированная матрица и она будет эрмитовой в том и только в том случае, когда она симметрична. Если применить это к столбцам, сопряжённость можно использовать для определения канонического скалярного произведения в Cn: w . ![]() Нормальные, эрмитовы и вещественные симметричные матрицы имеют ряд полезных свойств: Каждый корневой собственный вектор нормальной матрицы является простым собственным вектором. Любая нормальная матрица подобна диагональной, поскольку её нормальная жорданова форма является диагональной матрицей. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям нормальной матрицы, ортогональны. Для любой нормальной матрицы ACn имеет ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов матрицы A. Соответствующая матрица собственных векторов является унитарной. Собственные значения эрмитовой матрицы являются вещественными числами, поскольку (. Например, вещественная треугольная матрица имеет все свои собственные значения на диагонали, но, в общем случае, не симметрична. Любую задачу вычислительной математики можно рассматривать как вычисление некоторой функции . Число обусловленности. Число обусловленности описывает насколько возрастает ошибка во время вычислений. Десятичный логарифм этого числа говорит о количестве знаков, которые мы теряем по отношению к исходным данным. Число обусловленности относится к наилучшему сценарию, отражая нестабильность самой задачи, независимо от способа решения. Никакой алгоритм не может дать результат лучше, чем определённый числом обусловленности, разве что случайно. Однако плохо разработанный алгоритм может дать существенно более плохие результаты. Например, как будет упомянуто ниже, задача нахождения собственных значений нормальной матрицы всегда хорошо обусловлена, однако задача нахождения корней многочлена может быть очень плохо обусловлена. Такие алгоритмы вычисления собственных значений, которые работают путём нахождения корней характеристического многочлена, могут оказаться плохо обусловленными, даже если сама задача хорошо обусловлена. Для задачи решения системы линейных уравнений Av = b, где A является обратимой, число обусловленности . Поскольку это число не зависит от b и является тем же самым как для A, так и для A- 1, оно обычно называется числом обусловленности . Это значение . Если A является унитарной, то . В общем случае для матриц часто сложно вычислить операторную норму. По этой причине обычно используют другие нормы матрицы для оценки числа обусловленности. Собственные числа матрицы линейного оператора. Собственный вектор оператора A - ненулевой вектор X Назначение сервиса. Калькулятор предназначен для нахождения в онлайн режиме собственных чисел и собственных векторов матрицы. Для вычисления собственных векторов, необходимы различные математические программы, но бывают случаи, когда их не оказывается под рукой. В этих случаях может помочь встроенная программа Excel. Эта статья из раздела-взаимодействие с программой matlab, которая посвящена теме- вычисление значений собственных и векторов собственных. Для задачи вычисления собственных значений Бауэр и Файк доказали. Как следствие, число обусловленности для вычисления . Если матрица A нормальна, то V является унитарной и . Таким образом, задача вычисления собственных значений нормальных матриц хорошо обусловлена. Было показано, что число обусловленности задачи вычисления собственного подпространства нормальной матрицы A, соответствующего собственному значению . В частности, задача определения собственного подпространства для нормальных матриц хорошо обусловлена для изолированных собственных значений. Если собственные значения не изолированы, лучшее, на что мы можем рассчитывать, это определение подпространства всех собственных векторов близлежащих собственных значений. Любой нормированный многочлен. Теорема Абеля — Руффини показывает, что любой такой алгоритм для размерности большей 4 должен либо быть бесконечным, либо вовлекать функции более сложные, чем элементарные арифметические операции или дробные степени. По этой причине алгоритмы, вычисляющие точно собственные значения за конечное число шагов, существуют только для специальных классов матриц. В общем случае алгоритмы являются итеративными, дающими на каждой итерации очередное приближение к решению. Некоторые алгоритмы дают все собственные значения, другие дают несколько значений или даже всего одно, однако и эти алгоритмы можно использовать для вычисления всех собственных значений. Как только собственное значение . Собственное значение, найденное для A - . Например, в степенном методе. Итерация степенного метода находит самое большое по абсолютной величине значение, так что даже если . И наоборот, методы, основанные на обратной итерации. Поскольку A - . Алгоритм вычисления собственных значений можно тогда применить к этой суженой матрице. Процесс можно продолжать пока не будут найдены все собственные значения. Если алгоритм не даёт к собственные значения, общей практикой является применение алгоритма, основанного на обратной итерации, с приравниванием . Это быстро приводит к собственному вектору ближайшего к . Для небольших матриц альтернативой служит использование столбцового подпространства произведения A - . Верхняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, у которой все элементы ниже первой поддиагонали равны нулю. Нижняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, у которой все члены выше первой наддиагонали равны нулю. Матрицы, которые являются как нижними, так и верхними матрицами Хессенберга — это трёхдиагональные матрицы. Матрицы Хессенберга и трёхдиагональные матрицы являются исходными точками многих алгоритмов вычисления собственных значений, поскольку нулевые значения уменьшают сложность задачи. Существует несколько методов сведения матриц к матрицам Хессенберга с теми же собственными значениями. Если исходная матрица симметрична или эрмитова, то результирующая матрица будет трёхдиагональной. Если нужны только собственные значения, нет необходимости вычислять матрицу подобия, поскольку преобразованная матрица имеет те же собственные значения. Если также нужны и собственные векторы, матрица подобия необходима для преобразования собственных векторов матрицы Хессенберга к собственным векторам исходной матрицы. Метод. Применим к матрицам. Результат. Цена без матрицы подобия. Цена с матрицей подобия. Описание. Преобразования Хаусхолдераобщего видаматрица Хессенберга. Вращения упорядочены так, что следующие вращения не затрагивают нулевые элементы. Итерации Арнольди. Некоторые алгоритмы дают также последовательности векторов, сходящихся к собственным векторам. Чаще всего последовательности собственных значений выражаются через последовательности подобных матриц, которые сходятся к треугольной или диагональной форме, что позволяет затем просто получить собственные значения. Последовательности собственных векторов выражаются через соответствующие матрицы подобия. Метод. Применим к матрицам. Результат. Цена за один шаг. Сходимость. Описание. Степенной метод. Попытка не удаётся, но усиливает диагональ. Разделяй и властвуй. Это: Поскольку определитель треугольной матрицы является произведением её диагональных элементов, то для теугольной матрицы Tdet(. Таким образом, собственные значения T . Если удаётся разложить многочлен p на множители, то собственные значения A находятся среди его корней. Например, проектор . Корнями соответствующего скалярного полиномиального уравнения . Таким образом, проектор имеет 0 и 1 в качестве собственных значений. Кратность собственного значения 0 . Собственные значения должны быть равны . Операторы проектирования. P+=1. 2(E+A. Для матриц 2. Отсюда следует, что вычисление хорошо обусловлено, если собственные значения изолированы. Собственные векторы можно получить, используя теорему Гамильтона — Кэли. Предполагая, что ни одна из матриц не равна нулю, столбцы каждой матрицы должны содержать собственные векторы для другого собственного значения (если же матрица нулевая, то A является произведением единичной матрицы на константу и любой ненулевой вектор является собственным). Например, пусть. A=. Так, (1, - 2) можно использовать в качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению . Если A = p. B + q. E, то A и B имеют одни и те же собственные векторы и . Если положить q=tr(A)/3. Таким образом. Проблема не возникает, если A вещественна и симметрична, приводя к простому алгоритму. Тогда столбцы произведения любых двух из этих матриц содержат собственные векторы третьего собственного значения. Однако если a. 3 = a. A - . Таким образом, корневое собственное подпространство . Обычное собственное подпространство . Векторы (2, 3, - 1) и (6, 5, - 3) являются корневыми векторами, соответствующими значению 1, любой из которых можно скомбинировать с (- 4, - 4, 4) и (4, 2, - 2), образуя базис корневых векторов матрицы A. Алгебраисты часто предпочитают запись w ! Разреженные матрицы. Метод деления пополам. Алгоритмы QR и QL.
0 Comments
Leave a Reply. |
AuthorWrite something about yourself. No need to be fancy, just an overview. Archives
November 2017
Categories |